AstronomieAntwoorden: Sterrentijd

\(\def\|{&}\DeclareMathOperator{\D}{\bigtriangleup\!} \DeclareMathOperator{\d}{\text{d}\!}\)

Waar een hemellichaam voor jou aan de hemel staat hangt af van de draaihoek van de planeet op jouw locatie ten opzichte van de sterren. Die laatste is gevat in de sterrentijd \( θ \) (theta). De sterrentijd is de rechte klimming die op dat moment op de hemelmeridiaan staat. Als de sterrentijd weer hetzelfde is (op dezelfde plaats), dan staan de sterren ook weer hetzelfde aan de hemel. We meten de sterrentijd hier in graden. Hij wordt ook wel eens gemeten in uren. Omrekenen kan met 1 uur = 15 graden.

1. Van kloktijd naar sterrentijd

De middelbare sterrentijd (ten opzichte van de equinox van de dag) op een bepaald moment gezien vanaf een bepaalde plek is gelijk aan

\begin{align} θ \| ≡ L_0 + L_1 ∆J + L_2 ∆J^2 + L_3 ∆J^3 - l_\text{w} \pmod{360°} \label{eq:basis} \\ L_0 \| = 99,967794687° \\ L_1 \| = 360,98564736628603° \\ L_2 \| = 2,907879×10^{−13}° \\ L_3 \| = −5,302×10^{−22}° \end{align}

Het \( \pmod{360°} \) (modulus 360°) deel betekent dat je veelvouden van 360° bij het resultaat mag optellen of aftrekken; meestal doen we dat tot er een waarde over blijft tussen 0 en 360°. Dit betekent ook dat elke bepaalde sterrentijd steeds weer terug komt (net als elke kloktijd).

\( ∆J \) moet niet alleen de datum maar ook de tijd bevatten, en moet gebaseerd zijn op UTC (Universele Tijd). Als \( ∆J_d \) het aantal hele dagen sinds 0:00 lokale tijd aan het begin van 1 januari 2000 is, dan geldt

\begin{equation} ∆J ≡ ∆J_d + \frac{t + t_\text{z}}{24} \label{eq:fulljd} \end{equation}

\begin{equation} θ ≡ θ_0 + θ_1 t \pmod{360°} \label{eq:sterrentijd} \end{equation}

\begin{align} θ_0 \| ≡ L_0 + L_1 ∆J_d + θ_p \pmod{360°} \label{eq:θ_0} \\ θ_p \| ≡ L_2 ∆J_d^2 + L_3 ∆J_d^3 - l_\text{w} + θ_1 t_z \\ θ_1 \| ≡ M_0 + M_1 ∆J_d + M_2 ∆J_d^2 \label{eq:θ_1} \\ M_0 \| = 15,04106864026192° \\ M_1 \| = 2,423233×10^{−14}° \\ M_2 \| = −6,628×10^{−23}° \end{align}

Omdat \( ∆J_d \) altijd een heel getal is en we \( θ_p \) modulus 360° uitrekenen doen veelvouden van 360° er niet toe en kunnen we ook \( L_1 \bmod 360° \) nemen, ofwel 0,98564736628603° in plaats van 360,98564736628603°. Dat houdt de getallen kleiner tijdens de berekeningen.

\( θ_p \) en \( θ_1 \) veranderen maar heel langzaam met de tijd. In de praktijk hoef je ze voor een bepaald probleem maar eenmaal uit te rekenen, behalve als je hele hoge nauwkeurigheid wenst of als je sterrentijden wilt uitrekenen voor een hele lange periode (van bijvoorbeeld tenminste een eeuw).

Wat is de sterrentijd om 23:00 uur MET op 1 december 2006, gezien vanaf 5° oosterlengte (ongeveer de lengtegraad van Nederland en België)? Dan is \( t = 23 \), \( t_\text{z} = −1 \), \( l_\text{w} = −5 \) en \( ∆J_d = 2526 \) (zie de rekenpagina over het juliaanse dagnummer). Vergelijking \ref{eq:fulljd} geeft dan

\[ ∆J = 2526 + \frac{23 - 1}{24} = 2526,91667 \]

en vergelijking \ref{eq:basis} geeft

\begin{align*} θ \| = 99,967794687° + 360,98564736628603° × 2526,91667 \\ \| + 2,907879×10^{−13}° × 2526,91667^2 \\ \| - 5,302×10^{−22}° × 2526,91667^3 - (−5°) \\ \| = 912285,61655° = 45,61655° \pmod{360°} \end{align*}

We kunnen ook formules \ref{eq:sterrentijd} e.v. gebruiken, en vinden dan

\begin{align*} θ_1 \| = 15,04106864026192° + 2,423233×10^{−14}° × 2526 - 6,628×10^{−23}° × 2526^2 \\ \| = 15,0410686403231° \\ θ_0 \| = 99,967794687° + 0,98564736628603° × 2526 \\ \| + 2,907879×10^{−13}° × 2526^2 \\ \| - 5,302×10^{−22}° × 2526^3 \\ \| - (−5°) + 15,0410686403231° × −1 \\ \| = 2579,67198° = 59,67198° \pmod{360°} \\ θ \| = 59,67198° + 15,0410686403231° × 23 = 45,61655° \pmod{360°} \end{align*}

Beide methoden leveren het antwoord 45,61655° wat equivalent is met 45,61655°/15° = 3,0411 uur = 03:02 uur, dus de sterrentijd op de gekozen datum, tijd en plaats is 03:02 uur.

2. Van sterrentijd naar kloktijd

\begin{align} t \| = \frac{θ - θ_0}{θ_1} = \frac{θ - θ_p - L_0 - L_1 ∆J_d}{θ_1} \pmod{t_\text{s}} \label{eq:lokaal} \\ t_\text{s} \| ≡ \frac{360°}{θ_1} \end{align}

\( t_\text{s} \) is hoeveel klok-uren overeenkomen met 24 sterren-uren. \( θ_p \) en \( θ_1 \) hangen een beetje van de datum (\( ∆J_d \)) af, dus doet \( t_\text{s} \) dat ook (een beetje). Voor de nauwkeurigste berekeningen moet je dus \( θ_p \) en \( t_\text{s} \) voor elke dag opnieuw uitrekenen. Voor snellere berekeningen kun je de \( θ_p \) en \( t_\text{s} \) uitrekenen voor een dag in het midden van de gewenste periode, daarmee \( t \) uitrekenen (uit formule \ref{eq:lokaal}) tussen 0 en \( t_\text{s} \) voor die datum in het midden, en dan daar veelvouden van \( t_\text{s} \) bij optellen om schattingen voor nabijgelegen kloktijden te vinden. Die schattingen zullen best goed zijn, zolang de gewenste periode niet te groot is (bijvoorbeeld niet meer dan een paar jaar).

Gezien vanaf 5° oosterlengte, hoe laat (in middeleuropese wintertijd) rond 1 december 2006 is het allemaal 03:00 sterrentijd? Dan is \( θ = 3 × 15 = 45° \), \( l_\text{w} = −5 \), en \( t_\text{z} = −1 \). We vonden eerder voor 1 december 2006 dat \( θ_1 = 15,0410686403231° \) en \( θ_0 = 59,67198° \), en daarmee geven vergelijkingen \ref{eq:lokaal} e.v.

\begin{align*} t_\text{s} \| = \frac{360°}{15,0410686403231°} = 23,93446959 \\ t \| = \frac{45 - 59,67198°}{15,0410686403231°} = −0,97546 = 22,95901 = \text{22:58} \pmod{23,93446959} \end{align*}

dus is het 03:00 sterrentijd om 22:58 MET op 1 december 2006 en ook elke 23,93446959 uur = 23:56:04 eerder en later (maar niet oneindig ver).

AstronomieAntwoordenSterrentijd

1. Van kloktijd naar sterrentijd

2. Van sterrentijd naar kloktijd

AstronomieAntwoorden
Sterrentijd