AstronomieAntwoorden
Relativistisch Reizen

\(\def\|{&}\DeclareMathOperator{\D}{\bigtriangleup\!} \DeclareMathOperator{\d}{\text{d}\!}\)

\( \DeclareMathOperator{\artanh}{artanh} \DeclareMathOperator{\arsinh}{arsinh} \DeclareMathOperator{\arcosh}{arcosh} \def\d{\,\text{d}} \)

Volgens de Speciale Relativiteitstheorie hangen maten van lengte en tijd af van de waarnemer. Stel, er is een waarnemer S die thuis blijft in een inertiaalstelsel (dus zonder te versnellen of vertragen of van richting te veranderen) en een waarnemer R die in een raket stapt en door de ruimte reist. Hoe zien de lengte en duur van de reis van R er uit voor beide waarnemers?

We nemen aan dat de reiziger ver van sterren en planeten weg blijft in de lege ruimte zodat effecten van de zwaartekracht te verwaarlozen zijn en de lichtsnelheid gelijk is aan die in vacuüm.

We gebruiken de volgende symbolen:

Op een gegeven moment \( τ \) heeft R een snelheid \( \vec{v}(τ) \) ten opzichte van S. Een infinitesimale periode \( \d τ \) later is de snelheid van R volgens R toegenomen met \( \vec{α}\d τ \). Volgens S (en de Speciale Relativiteitstheorie) is de snelheidstoename van R slechts \( 1 − \frac{v^2}{c^2} \) keer zo groot, dus neemt \( \vec{v} \) toe met

\begin{equation} \d \vec{v} = \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right) \vec{α}\d τ ⇔ \d \vec{β} = \frac{\vec{α}}{γ^2c} \d τ \end{equation}

ofwel

\begin{equation} \dfrac{\d \vec{v}}{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} = \vec{α} \d τ ⇔ γ^2 \d \vec{β} = \frac{\vec{α}}{c} \d τ \end{equation}

Hieruit valt in sommige gevallen een directe formule voor \( \vec{v}(τ) \) af te leiden.

De tijd \( t \) die S meet is verbonden met de tijd \( τ \) die R meet volgens

\begin{equation} \d t = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \d τ ⇔ \d t = γ \d τ \label{eq:dt} \end{equation}

De positie van R volgens S wordt bepaald door

\begin{equation} \d \vec{r} = \vec{v} \d t = γ \vec{v} \d τ \label{eq:dr} \end{equation}

Volgens R is dat

\begin{equation} \d \vec{ρ} = \vec{v} \d τ \label{eq:drho} \end{equation}

In sommige speciale gevallen kunnen de bovenstaande formules geïntegreerd worden.

1. Versnelling langs een rechte lijn

Als de versnelling langs een rechte lijn is, dan vinden we

\begin{equation} ∫ \dfrac{1}{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} \d v = ∫ α \d τ ⇔ ∫ γ^2 \d β = ∫ \frac{α}{c}x \d τ \label{eq:dvrecht} \end{equation}

We stellen

\begin{equation} θ(τ) ≡ ∫^τ_{τ_0} \frac{α(τ′)}{c} \d τ′ \label{eq:ups} \end{equation}

waarbij de integratie is vanaf een tijdstip \( τ_0 \) waarop de snelheid van R ten opzichte van S gelijk was aan nul. \( θ \) is het totale snelheidsverschil dat R heeft ondergaan vanuit een Galileïsch gezichtspunt, gemeten in eenheden van de snelheid van het licht. Integreer formule \eqref{eq:dvrecht} tussen \( τ_0 \) en \( τ \) en vind

\begin{align} \| \artanh(β) = θ \\ \| ⇒ β = \tanh(θ) \label{eq:beta} \\ \| ⇒ γ = \cosh(θ) \label{eq:gamma} \end{align}

Uit vergelijkingen \eqref{eq:dt} en \eqref{eq:gamma} volgt

\begin{equation} \d t = \cosh(θ) \d τ \end{equation}

Uit vergelijkingen \eqref{eq:dr} en \eqref{eq:gamma} volgt

\begin{equation} \d r = γ c \tanh(θ) \d τ = c \sinh(θ) \d τ \end{equation}

Vergelijkingen \eqref{eq:drho} en \eqref{eq:beta} geven

\begin{equation} \d ρ = c \tanh(θ) \d τ \end{equation}

2. Constante versnelling langs een rechte lijn

Voor constante versnelling langs een rechte lijn vinden we uit vergelijking \eqref{eq:ups}

\begin{equation} θ = θ_0 + \frac{ατ}{c} \end{equation}

We stellen

\begin{equation} u ≡ θ(t) = u_0 + \frac{αt}{c} \end{equation}

en vinden

\begin{align} β \| = \tanh(θ) = \frac{u}{\sqrt{1 + u^2}} \\ γ \| = \cosh(θ) = \sqrt{1 + u^2} \\ \d t \| = \cosh(θ) \d τ ⇒ t = \frac{c}{α} \sinh(θ) ⇔ τ = \frac{c}{α} \arsinh(u) \\ \d r \| = c \sinh(θ) \d τ ⇒ r = \frac{c^2}{α} (\cosh(θ) - 1) = \frac{c^2}{α} \left( \sqrt{1 + u^2} - 1 \right) \\ \d ρ \| = c \tanh(θ) \d τ ⇒ ρ = \frac{c^2}{α} \ln(\cosh(θ)) \end{align}

3. Reis

Nu laten we R vanaf S naar een verre plek reizen die ten opzichte van S in rust is. Daartoe versnelt R eerst gedurende een periode \( τ_0 \) vanaf \( τ = t = 0 \) met constante versnelling \( α \) en vertraagt daarna gedurende eenzelfde periode met versnelling \( -α \).

Voor de versnellingsfase geldt \( 0 ≤ τ ≤ τ_0 \) en

\begin{align} θ \| = \frac{ατ}{c} \\ v \| = \tanh(θ) \\ t \| = \frac{c}{α} \sinh(θ) ⇒ t_0 = \frac{c}{α} \sinh\left( \frac{ατ_0}{c} \right) \\ r \| = \frac{c^2}{α} (\cosh(θ) - 1) ⇒ r_0 = \frac{c^2}{α} \left( \cosh\left( \frac{ατ_0}{c} \right) - 1 \right) \\ ρ \| = \frac{c^2}{α} \ln(\cosh(θ)) ⇒ ρ_0 = \frac{c^2}{α} \ln\left( \cosh\left( \frac{ατ_0}{c} \right) \right) \end{align}

Voor de vertragingsfase geldt \( τ_0 ≤ τ ≤ 2τ_0 \) en

\begin{align} θ \| = \frac{α}{c} (2τ_0 - τ) \\ v \| = c \tanh(θ) \\ t \| = 2t_0 - \frac{c}{α} \sinh(θ) \\ r \| = 2r_0 - \frac{c^2}{α} (\cosh(θ) - 1) \\ ρ \| = 2ρ_0 - \frac{c^2}{α} \ln(\cosh(θ)) \end{align}

De hele reis heeft dan volgens R \( 2τ_0 \) geduurd en volgens S \( \frac{2c}{α} \sinh\left( \frac{ατ_0}{c} \right) \), en R heeft volgens S dan afstand \( \frac{2c^2}{α} \left( \cosh\left( \frac{ατ_0}{c} \right) - 1 \right) \) afgelegd, maar volgens R zelf \( \frac{2c^2}{α} \ln\left( \cosh\left( \frac{ατ_0}{c} \right) \right) \).

4. Een reis naar een plek op een bekende afstand

Wat zijn de kenmerken van zo een reis naar een plek op afstand \( D \)? Dan is \( D = 2 r_0 \) dus

\begin{align} q \| = \frac{D α}{2 c^2} + 1 \\ θ_\text{max} \| = \arcosh(q) \\ v_\text{max} \| = c \tanh(θ_\text{max}) = c \sqrt{1 - \frac{1}{q^2}} \\ τ \| = \frac{2c}{α} θ_\text{max} \\ t \| = \frac{2c}{α} \sqrt{q^2 - 1} \\ ρ \| = \frac{2c^2}{α} \ln(q) \end{align}

5. Kleine snelheden

Als de maximale snelheid veel kleiner blijft dan de lichtsnelheid (dus als \( D α ≪ c^2 \)) dan kunnen we benaderen:

\begin{align} v_\max \| = \sqrt{D α} \\ θ_\max \| = \sqrt{\frac{D α}{c^2}} = \frac{v_\max}{c} \\ τ \| = 2\sqrt{\frac{D}{α}} - \frac{\sqrt{α} D^{3/2}}{12 c^2} = \frac{2 v_\max}{α} - \frac{v_\max D}{12 c^2} \\ t \| = 2\sqrt{\frac{D}{α}} + \frac{\sqrt{α} D^{3/2}}{4 c^2} = \frac{2 v_\max}{α} + \frac{v_\max D}{4 c^2} \\ ρ \| = D - \frac{α D^2}{4c^2} = D - \frac{D v^2_\max}{4c^2} \\ t - τ \| = \frac{\sqrt{α} D^{3/2}}{3 c^2} = \frac{v_\max D}{3 c^2} ≈ \frac{t v^2_\max}{3c^2} \\ D - ρ \| = \frac{α D^2}{4c^2} = \frac{D v^2_\max}{4c^2} ≈ \frac{t v^3_\max}{4c^2} \end{align}

In het dagelijkse leven zijn de relativistische effecten verwaarloosbaar. Als iemand in een auto een soortgelijke reis maakt met versnelling en vertraging in elk 10 seconden, met een maximum snelheid van 100 km/h, dan wint die persoon daarmee \( t - τ \) = 3 × 10⁻¹⁴ seconden ten opzichte van iemand anders die stil bleef staan.

6. Tabel

\[ \frac{ατ}{c} = 1,033 \frac{α}{g} \frac{τ}{\text{jaar}} \]

en

\[ \frac{D α}{c^2} = 1,033 \frac{D}{\text{lj}} \frac{α}{g} \]

waar \( g \) de versnelling van de zwaartekracht aan de evenaar van de Aarde is (9,81 m/s²), "jaar" een Juliaans jaar van 365,25 dagen, en "lj" een lichtjaar gebaseerd op een Juliaans jaar.

Hieronder staan wat waarden voor een constante versnelling gelijk aan 0,968 maal die van de aardse zwaartekracht, zodat \( ατ/c = 1 \) als \( τ \) gelijk is aan een Juliaans jaar.

talen: [en] [nl]

//aa.quae.nl/nl/reken/relativistisch-reizen.html;
Laatst vernieuwd: 2021-07-19