AstronomieAntwoorden: Grootcirkels

AstronomieAntwoorden
Grootcirkels


[AA] [Woordenboek] [Antwoordenboek] [UniversumFamilieBoom] [Wetenschap] [Sterrenhemel] [Planeetstanden] [Reken] [Colofon]

1. Een grootcirkel ... 2. Een grootcirkel door twee bekende punten ... 2.1. Alternatief ... 3. Een grootcirkel in een bepaalde richting door een bekend punt ... 4. Het noordelijkste en zuidelijkste punt van een grootcirkel ... 5. Afstand tot een grootcirkel ... 6. De evenaarspunten van een grootcirkel ... 7. Grootcirkel op een wereldkaart

\(\def\|{&}\)

\( \newcommand{\Matrix}[1]{\left( \begin{matrix} #1 \end{matrix} \right)} \)

Alle plaatjes op deze bladzijde zijn bijdragen van Dr. Bernd Frassek.

1. Een grootcirkel

Fig. 1: Tekening van een grootcirkel op een bol
Fig. 1: Tekening van een grootcirkel op een bol
Een grootcirkel is een speciale cirkel op het oppervlak van een bol (bijvoorbeeld van een planeet of van de hemelbol). Figuur 1 toont grootcirkel G en breedtecirkel B op een bol. Je kunt een grootcirkel aan elk van de volgende eigenschappen herkennen:

Zo'n cirkel wordt ook wel een grote cirkel genoemd (in misschien netter Nederlands), maar dat heeft in het dagelijkse leven een veel ruimere betekenis (namelijk: cirkel van grote afmetingen) en dat kan verwarring geven, dus gebruiken we hier grootcirkel.

Alle meridianen zijn grootcirkels. Breedtecirkels anders dan de evenaar (bijvoorbeeld cirkel B in de figuur) zijn geen grootcirkels, bijvoorbeeld omdat ze kleiner zijn dan de evenaar, die wel een grootcirkel is.

Een grootcirkel geeft de kortste route als je met een vaste snelheid ten opzichte van de grond beweegt, en ook (bij benadering) als je snelheid niet vast maar wel altijd veel kleiner dan de draaisnelheid van de bol bij zijn evenaar. Dit geldt bijvoorbeeld niet voor dingen die buiten de dampkring rond de Aarde draaien.

2. Een grootcirkel door twee bekende punten

Stel, je wilt de kortste route van een stad P₁ naar een verre andere stad P₂ op een kaart tekenen, en je weet van die steden wat hun geografische lengtegraad en breedtegraad is. Dan kun je als volgt de coördinaten van punten op die route uitrekenen:

  1. Noem de polaire coördinaten (lengtegraad en breedtegraad) van de eerste stad \( l_1 \) en \( b_1 \) en die van de tweede stad \( l_2 \) en \( b_2 \).
  2. Fig. 2: Illustratie bij omrekening van polaire naar rechthoekige coördinaten
    Fig. 2: Illustratie bij omrekening van polaire naar rechthoekige coördinaten
    Reken de polaire coördinaten van de eerste stad P₁ om naar de overeenkomstige cartesische (rechthoekige) coördinaten \( x_1 \), \( y_1 \), \( z_1 \) (zie figuur 2):

    \begin{align} x_1 \| = \cos l_1 \cos b_1 \label{eq:naarcartesisch} \\ y_1 \| = \sin l_1 \cos b_1 \\ z_1 \| = \sin b_1 \end{align}

    en net zo voor de tweede stad P₂.

  3. Fig. 3: Illustratie van de hoekafstand tussen P₁ en P₂
    Fig. 3: Illustratie van de hoekafstand tussen P₁ en P₂
    Bereken de hoekafstand \( ψ \) (psi) tussen de twee steden, gezien vanuit het midden van de Aarde (zie figuur 3):

    \begin{equation} ψ = \arccos(x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2) \end{equation}

  4. Bereken de coördinaten van het punt P₃ op de grootcirkel dat 90° van de eerste stad P₁ ligt in de richting van de tweede stad P₂ (zie figuur 3):

    \begin{equation} x_3 = \frac{x_2 - x_1 \cos ψ}{\sin ψ} \label{eq:punt3} \end{equation}

    en net zo met \( y \) of \( z \) in plaats van \( x \).

  5. De cartesische coördinaten van de punten van de grootcirkel zijn dan, als functie van de hoekafstand \( φ \) (phi) vanaf de eerste stad:

    \begin{equation} x = x_1 \cos φ + x_3 \sin φ \label{eq:positie} \end{equation}

    en net zo met \( y \) of \( z \) in plaats van \( x \). Als \( φ = 0 \), dan ben je in de eerste stad. Als \( φ = ψ \), dan ben je in de tweede stad.

  6. De cartesische coördinaten \( x \), \( y \), \( z \) kun je dan weer omrekenen naar polaire coördinaten \( l \), \( b \):

    \begin{align} b \| = \arcsin(z) \label{eq:naarpolair} \\ l \| = \arctan(y,x) \end{align}

    De \( \arctan(y,x) \) met twee argumenten betekent dat je moet zorgen dat het antwoord in het juiste kwadrant ligt. Het juiste antwoord is óf \( \arctan\left( \frac{y}{x} \right) \), óf \( \arctan\left( \frac{y}{x} \right) + 180° \), en je moet (in dit geval) de oplossing kiezen die als cosinus \( x \) heeft en als sinus \( y \) (met de juiste tekens).

    Veel computertalen en computerrekenprogramma's hebben een twee-argumentenversie van de arc-tangensfunctie, en veel rekenmachines hebben een omrekenfunctie van cartesische naar polaire coördinaten die je hiervoor kunt gebruiken.

Fig. 4: Grootcirkel door Amsterdam en San Francisco
Fig. 4: Grootcirkel door Amsterdam en San Francisco
Bijvoorbeeld (figuur 4): Welk punt Q ligt 1000 km vanaf Amsterdam (P₁, 52°22' noord, 4°54' oost) op de kortste route naar San Francisco (P₂, 37°46' noord, 122°25' west), aannemend dat de Aarde een bol is met een straal van 6378 km? De afstand per graad over de bol is gelijk aan de straal maal \( π/180 = 0,017453292 \), dus op Aarde is dat 111,317 km per graad. We vinden:

  1. \( l_1 = 4,9° \); \( b_1 = 52,37° \); \( l_2 = −122,42° \); \( b_2 = 37,77° \)
  2. \( x_1 = 0,6083285 \); \( y_1 = 0,05215215 \); \( z_1 = 0,7919701 \); \( x_2 = −0,423791 \); \( y_2 = −0,6672729 \); \( z_2 = 0,6124933 \)
  3. \( ψ = 78,90289° \), dus San Francisco ligt \( 78,90289 × 111,317 = 8783 \) km van Amsterdam.
  4. \( x_3 = −0,5511833 \); \( y_3 = −0,6902162 \); \( z_3 = 0,4688268 \). Dit komt overeen met \( b_3 = 27,95817° \); \( l_3 = −128,6097° \), wat een punt is in de oostelijke Grote Oceaan ten westen van Mexico.
  5. 1000 km komt overeen met \( 1000/111,317 = 8,98335 \) graden, dus \( φ = 8,98335° \). Dan zijn \( x = 0,5148008 \); \( y = −0,05626304 \); \( z = 0,8554617 \).
  6. \( b = 58,81077° \); \( l = −6,237153° \). Dit is een punt net ten noorden van Schotland.

2.1. Alternatief

Er is een alternatief voor formule \ref{eq:positie}, waarbij je niet de positie van het punt 3 hoeft uit te rekenen:

\begin{equation} x = \frac{x_1 \sin(ψ - φ) + x_2 \sin φ}{\sin ψ} \end{equation}

en net zo met \( y \) of \( z \) in plaats van \( x \). Echter, punt 3 is wel nodig als je nog andere dingen van de grootcirkel wilt weten, zoals je hieronder zult zien.

3. Een grootcirkel in een bepaalde richting door een bekend punt

Stel, je wilt weten waar je allemaal langs komt als je vanaf een bepaalde stad in een bepaalde richting begint en alsmaar rechtuit blijft gaan. We nemen aan dat je reist met een snelheid die veel langzamer is dan de draaisnelheid van de Aarde bij de evenaar. Je gaat dan langs een grootcirkel. Dan kun je de coördinaten van punten op die route als volgt uitrekenen:

  1. Noem de polaire coördinaten (lengtegraad en breedtegraad) van de stad \( l_1 \) en \( b_1 \), en de richting waarin je vertrekt \( γ \), gemeten vanaf het zuiden naar het westen (dus zuid = 0°, west = 90°, noord = 180°, oost = 270°).
  2. Reken de polaire coördinaten van de stad om naar de overeenkomstige cartesische (rechthoekige) coördinaten \( x_1 \), \( y_1 \), \( z_1 \) volgens formules \ref{eq:naarcartesisch} e.v.
  3. Reken de cartesische coördinaten \( x_\text{zuid} \), \( y_\text{zuid} \), \( z_\text{zuid} \) uit van het bijbehorende zuidpunt met \( l_\text{zuid} = l_1 \); \( b_\text{zuid} = b_1 - 90° \) als \( b_1 \) positief (dus in het noordelijke halfrond) is, en \( l_\text{zuid} = l_1 + 180° \); \( b_\text{zuid} = −90° - b_1 \) als \( b_1 \) negatief (dus in het zuidelijke halfrond) is.
  4. Reken de cartesische coördinaten \( x_\text{west} \), \( y_\text{west} \), \( z_\text{west} \) uit van het bijbehorende westpunt met \( l_\text{west} = l_1 - 90° \); \( b_\text{west} = 0 \).
  5. Reken de cartesische coördinaten \( x_3 \), \( y_3 \), \( z_3 \) uit van het grootcirkelpunt op 90° van de stad:

    \begin{equation} x_3 = x_\text{zuid} \cos γ + x_\text{west} \sin γ \end{equation}

    en net zo met \( y \) of \( z \) in plaats van \( x \).

  6. Gebruik nu formules \ref{eq:positie} en \ref{eq:naarpolair} e.v. om de gewenste cartesische en polaire coördinaten uit te rekenen.

Stel, je begint vanuit Amsterdam (52°22' noord, 4°54' oost) recht naar het oosten te gaan en blijft alsmaar rechtuit gaan. Als je dat 1000 km volhoudt, waar ben je dan?

  1. \( l_1 = 4,9° \); \( b_1 = 52,37° \); \( γ = 270° \)
  2. \( x_1 = 0,6083285 \); \( y_1 = 0,05215215 \); \( z_1 = 0,7919701 \)
  3. \( x_\text{zuid} = 0,7890756 \); \( y_\text{zuid} = 0,06764765 \); \( z_\text{zuid} = −0,6105599 \)
  4. \( x_\text{west} = 0,08541692 \); \( y_\text{west} = −0,9963453 \); \( z_\text{west} = 0 \)
  5. \( x_3 = −0,08541692 \); \( y_3 = 0,9963453 \); \( z_3 = 0,7919701 \), dus in dit geval is elke cartesische coördinaat van punt 3 het tegengestelde van de overeenkomstige coördinaat van het westpunt, wat te verwachten was omdat we precies naar het oosten beginnen te gaan.
  6. 1000 km komt overeen met 8,98335°, dus \( φ = 8,98335° \). Daarmee vinden we \( x = 0,587529 \); \( y = 0,2070892 \); \( z = 0,7822556 \), en dan \( b = 51,46756° \); \( l = 19,41627° \). Dat is een punt midden in Polen.

4. Het noordelijkste en zuidelijkste punt van een grootcirkel

Fig. 5: Noordelijkste en zuidelijkste punt op een grootcirkel
Fig. 5: Noordelijkste en zuidelijkste punt op een grootcirkel
Als je van Amsterdam (P₁ in figuur 5) naar San Francisco (P₂) of vice versa reist, dan ga je eerst een tijd naar het noorden en daarna weer naar het zuiden. Alle grootcirkels behalve de evenaar hebben een noordelijkst punt (PN) en een zuidelijkst punt (PS). Je kunt die als volgt uitrekenen, als je punten P₁ en P₃ op 90° afstand van elkaar op de grootcirkel hebt, (bijvoorbeeld door formule \ref{eq:punt3} te gebruiken):

Bereken de hoekafstand van de eerste stad P₁ tot het eerste speciale (noordelijkste of zuidelijkste) punt:

\begin{equation} φ_1 = \arctan\left( \frac{z_3}{z_1} \right) \end{equation}

De hoekafstand van het tweede speciale punt is 180° groter (of kleiner, dat is op een cirkel hetzelfde):

\begin{equation} φ_2 = φ_1 + 180° \end{equation}

Je kunt dan met formule \ref{eq:positie} de overeenkomende cartesische coördinaten uitrekenen, en dan met formule \ref{eq:naarpolair} e.v. de polaire coördinaten. Het is niet nodig om die coördinaten voor het tweede speciale punt uit te rekenen, want dat punt ligt precies aan de andere kant van de Aarde als het eerste speciale punt, dus zijn cartesische coördinaten en zijn breedtegraad zijn gelijk aan die van het eerste speciale punt maal −1, en zijn lengtegraad is 180° rond de planeet vanaf het eerste speciale punt.

Voor de grootcirkel die door Amsterdam en San Francisco gaat vinden we \( φ_1 = 30,62449° \); \( φ_2 = 210,62449° \). De bijbehorende cartesische coördinaten zijn \( x = −0,2427036 \); \( y = 0,3067243 \); \( z = −0,9203343 \) voor \( φ_1 \) en \( x = 0,2427036 \); \( y = −0,3067243 \); \( z = 0,9203343 \) voor \( φ_2 \). De bijbehorende polaire coördinaten zijn \( b = 66,975° \); \( l = −51,64627° \) voor \( φ_1 \) en \( b = −66,975° \); \( l = 128,3537° \) voor \( φ_2 \). Het eerste punt ligt op Groenland, en het tweede nabij de kust van Antarctica.

5. Afstand tot een grootcirkel

Wat is de afstand van een willekeurig punt Q tot de grootcirkel door P₁ en P₂, gemeten langs het oppervlak loodrecht op die grootcirkel?

Het korte antwoord is dat die afstand \(α\) is bepaald door

\begin{equation} \sin(α) = \frac{\hat{Q} ⋅ (\hat{P}_1 × \hat{P}_2)}{|\hat{P}_1 × \hat{P}_2|} \label{eq:dist} \end{equation}

waarin \(⋅\) het inwendig product van twee vectoren geeft, \(×\) het uitwending product van twee vectoren geeft, en \(|\vec{v}|\) de lengte van vector \(\vec{v}\) aanduidt. De notatie \(\hat{v}\) geeft aan dat de vector \(\vec{v}\) een lengte gelijk aan 1 heeft.

Hier is hetzelfde antwoord, maar dan met meer uitleg. De vectoren \(\hat{P}_1\), \(\hat{P}_2\) en \(\hat{Q}\) wijzen vanaf het centrum van de bol naar de punten P₁, P₂ en Q. Hun rechthoekige coördinaten kunnen worden gevonden uit hun polaire coördinaten met behulp van vergelijking \eqref{eq:naarcartesisch}.

De vector \(\vec{S} = \hat{P}_1 × \hat{P}_2\) staat per definitie loodrecht op zowel \(\hat{P}_1\) als \(\hat{P}_2\), maar zijn lengte is alleen gelijk aan 1 als \(\hat{P}_1\) en \(\hat{P}_2\) loodrecht op elkaar staan. Omdat zijn lengte misschien niet gelijk is aan 1 schrijven we die vector als \(\vec{S}\) en niet als \(\hat{S}\).

Het inwendig product van \(\hat{Q}\) en \(\vec{S}\) is per definitie verbonden met de hoek \(β\) tussen die twee vectoren volgens

\begin{equation} |\hat{Q}| |\vec{S}| \cos(β) = \hat{Q} ⋅ \vec{S} \end{equation}

maar omdat de lengte van \(\hat{Q}\) gelijk is aan \(|\hat{Q}| = 1\) hoeft die factor niet expliciet geschreven te worden, dus

\begin{equation} |\vec{S}| \cos(β) = \hat{Q} ⋅ \vec{S} \end{equation}

waaruit volgt

\begin{equation} \cos(β) = \frac{\hat{Q} ⋅ \vec{S}}{|\vec{S}|} \end{equation}

Omdat \(\vec{S}\) loodrecht staat op (het vlak van) de grootcirkel is de som van de hoekafstand van \(\hat{Q}\) tot \(\vec{S}\) en de hoekafstand van \(\hat{Q}\) tot de grootcirkel gelijk aan 90°, dus

\begin{eqnarray} β \| = \| 90° − α \\ \cos(β) \| = \| \sin(α) \end{eqnarray}

Daarmee komen we uit op vergelijking \eqref{eq:dist}. Het teken van \(\sin(α)\) hangt af van de volgorde van P₁ en P₂. Als we P₁ en P₂ verwisselen dan worden \(\sin(α)\) en \(\vec{S}\) vermenigvuldigd met −1. De \(z\)-coördinaat van \(\vec{S}\) zegt of \(\vec{S}\) naar een punt in het noordelijk (\(z_S \gt 0\)) of zuidelijk (\(z_S \lt 0\)) halfrond wijst. Als \(z_S\sin(α) \gt 0\) dan ligt Q ten noorden van de grootcirkel, en als \(z_S\sin(α) \lt 0\) dan ligt Q ten zuiden van de grootcirkel.

Rest nog om uit te leggen dat het inwendig product van twee vectoren gelijk is aan

\begin{equation} \Matrix{x_1 \\ y_1 \\ z_1} ⋅ \Matrix{x_2 \\ y_2 \\ z_2} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 \end{equation}

en het uitwendig product gelijk is aan

\begin{equation} \Matrix{x_1 \\ y_1 \\ z_1} × \Matrix{x_2 \\ y_2 \\ z_2} = \Matrix{y_1z_2 − y_2z_1 \\ z_1x_2 − z_2x_1 \\ x_1y_2 − x_2y_1} \end{equation}

Bijvoorbeeld, hoe ver is het vliegveld van Reykjavik in IJsland (Q, op noorderbreedte 64.13° en westerlengte 21.94°) van de grootcirkel tussen Amsterdam (P₁) en San Francisco (P₂)?

We vonden eerder dat voor Amsterdam \( x_1 = 0.6083285 \); \( y_1 = 0.05215215 \); \( z_1 = 0.7919701 \) en voor San Francisco \( x_2 = −0.423791 \); \( y_2 = −0.6672729 \); \( z_2 = 0.6124933 \).

Voor Reykjavik vinden we met behulp van vergelijking \eqref{eq:naarcartesisch} de cartesische coördinaten \( x_Q = 0.4047297 \); \( y_Q = −0.1630286 \); \( z_Q = 0.8997864 \).

Dan is

\begin{eqnarray*} \vec{S} \| = \| \Matrix{0.6083285 \\ 0.05215215 \\ 0.7919701} × \Matrix{−0.423791 \\ −0.6672729 \\ 0.6124933} = \Matrix{0.560403 \\ −0.7082269 \\ −0.3838195} \\ |\vec{S}| \| = \| \sqrt{0.560403^2 + (−0.7082269)^2 + (−0.3838195)^2} = \sqrt{0.9629544} = 0.9813024 \\ \hat{Q} ⋅ \vec{S} \| = \| 0.4047297 × 0.560403 + (−0.1630286) × (−0.7082269) + 0.8997864 × (−0.3838195) = −0.00308254 \\ \sin(α) \| = \| \frac{−0.00308254}{0.9813024} = −0.003141275 \\ α \| = \| \arcsin(−0.003141275) = −0.1799821° \end{eqnarray*}

We vinden dat \(z_S\sin(α) \gt 0\), dus Reykjavik ligt ten noorden van de grootcirkel tussen Amsterdam en San Francisco, op afstand 0.18°.

6. De evenaarspunten van een grootcirkel

Elke grootcirkel behalve de evenaar snijdt de evenaar in twee punten, aangegeven als E_1 en E_2 in figuur 5. De lengtegraden van die punten zijn 90° oostelijk en westelijk van elk van de noordelijkste en zuidelijkste punten van de grootcirkel, waarvan de berekening hierboven is uitgelegd.

Bijvoorbeeld, de grootcirkel die door Amsterdam en San Francisco gaat snijdt de evenaar op lengtegraden 38,3537° en −141,64627°, in Kenia en de Grote Oceaan, respectievelijk.

7. Grootcirkel op een wereldkaart

Fig. 6: Grootcirkel op een wereldkaart
Fig. 6: Grootcirkel op een wereldkaart
Figuur 6 toont alle relevante punten en de relevante grootcirkel uit bovenstaande voorbeelden op een wereldkaart. Dit type wereldkaart wordt vaak gebruikt maar is niet erg geschikt om de korste route (een deel van een grootcirkel) tussen twee punten op de wereld te vinden, want de meeste grootcirkels lijken op zo'n kaart krom te lopen, net als de getoonde grootcirkel.

Het is niet mogelijk om een kaart van de wereld te maken waarop alle grootcirkels recht lopen, maar wel kun je een kaart maken waarop sommige grootcirkels recht lopen, bijvoorbeeld alle grootcirkels door één punt. In Figuur 6 lopen alle grootcirkels door de noordpool en zuidpool recht: dat zijn de meridianen. Ook de evenaar is een grootcirkel en loopt op die kaart recht.



[AA]

talen: [en] [nl]

//aa.quae.nl/nl/reken/grootcirkel.html;
Laatst vernieuwd: 2018-01-31