AstronomieAntwoorden
AstronomieAntwoordenBoek: Getijden

\(\def\|{&}\DeclareMathOperator{\D}{\bigtriangleup\!} \DeclareMathOperator{\d}{\text{d}\!}\)

Deze bladzijde beantwoorden vragen over getijden en getijdekrachten. De vragen zijn:

• [589] Is de gemiddelde tijd tussen twee opeenvolgende getijden van dezelfde soort verbonden met de Maan?
• [580] Waarom gebeuren de sterkste getijden (springtij) bij Volle Maan en Nieuwe Maan, en de zwakste getijden (doodtij) bij Eerste Kwartier en Laatste Kwartier?
• [579] Waarom is er meestal tweemaal per dag hoogwater en tweemaal laagwater?
• [503] Waarom gaat de Maan langzaam verder weg van de Aarde, hoewel dat meer energie vergt?
• [455] Als de zwaartekracht van de Maan sterk genoeg is om enorme hoeveelheden water te verplaatsen (met de getijden), waarom voelen wij dan niet kilo's lichter als de Maan hoog aan de hemel staat?

[503]

De Maan verwijdert zich nu gemiddeld met ongeveer 3,7 cm per jaar van de Aarde. Er is energie voor nodig om verder van de Aarde te komen, dus blijkbaar wint de Maan energie. Hoe zit dat?

(Zie de Rekenpagina over de evolutie van de maanbaan als je wilt weten hoe ik de berekeningen heb gedaan waarop deze tekst gebaseerd is.)

1. Behoudswetten

De Wet van Behoud van Impulsmoment zegt dat het totale impulsmoment van een gesloten systeem constant is. De Wet van Behoud van Energie zegt dat de totale hoeveelheid energie van een gesloten systeem constant is. Dat betekent dat energie of impulsmoment niet zomaar kunnen verschijnen of verdwijnen: Het komt altijd ergens vandaan of gaat ergens naartoe.

Wrijving is een belangrijke oorzaak van het omzetten van kinetische energie (verbonden met gerichte snelheid) in warmte-energie. Als je je fiets of auto afremt dan veroorzaak je wrijving tussen de wielen en de rem, en dat maakt het snelheidsverschil tussen de rem en de wielen kleiner en verhit de rem en wielen. De kinetische energie is dan omgezet in warmte-energie in de rem en wielen, die deels als warmtestraling naar de omgeving verdwijnt. Het is een heel stuk moeilijker om warmte-energie om te zetten in kinetische energie.

De Aarde en de Maan oefenen getijdekrachten op elkaar uit. Getijdenkrachten ontstaan als op verschillende delen van een voorwerp (iets) verschillende zwaartekracht werkt. De getijdekrachten tussen de Aarde en de Maan proberen de draaiperioden van de Aarde en de Maan gelijk te maken aan elkaar en aan de baanperiode van de Aarde en de Maan. De draaiperiode van de Maan is al gelijk aan de baanperiode, maar de draaiperiode van de Aarde (de siderische dag) is nog een stuk korter dan de baanperiode (de siderische maand). De getijdekrachten remmen daarom de draaiing van de Aarde nu langzaam af.

Als de draaiing van de Aarde afremt, dan worden het impulsmoment en de kinetische energie vanwege de draaisnelheid van de Aarde minder. De verschillen moeten dan ergens anders naartoe zijn gegaan, want de behoudswetten zeggen dat energie en impulsmoment niet zomaar kunnen verdwijnen. Een deel van de "verdwenen" energie wordt door wrijving omgezet in warmte-energie, waarvan een deel (alles?) als warmtestraling de ruimte in verdwijnt.

Warmtestraling bevat wel energie maar geen impulsmoment, dus kan energie wel maar impulsmoment niet op deze manier de ruimte in verdwijnen. Het impulsmoment dat uit de draaiing van de Aarde verdwijnt kan dus alleen naar de draaiing van de Maan of de baanbeweging van de Aarde en de Maan gaan.

Getijdekrachten hebben er voor gezorgd dat de rotatieperiode en de baanperiode van de Maan nu gelijk zijn (de Maan toont ons altijd dezelfde kant), dus kunnen ze er ook voor zorgen dat die perioden gelijk blijven aan elkaar. De baanperiode volgt uit de afstand tussen de Aarde en de Maan, dus dan zijn er nog maar twee vrije parameters over: de rotatieperiode van de Aarde en de afstand tussen de Aarde en de Maan.

Als de rotatieperiode van de Aarde afneemt, dan neemt het impulsmoment van de Aarde af, dus dan moet het impulsmoment van de Maan (rotatie en/of baan) toenemen, wat betekent dat de afstand van de Maan moet toenemen.

Fig. 1: Perioden in Aarde-Maan-systeem

Figuur 1 toont welke draaiperiode \(T_1\) van de Aarde en baanperiode \(P\) (langs de vertikale as) van de Aarde en Maan horen bij elke afstand \(r\) (langs de horizontale as) tussen de Aarde en de Maan. De getrokken lijn toont de siderische draaiperiode van de Aarde en de stippellijn de siderische baanperiode van de Aarde en Maan (die ook gelijk is aan de siderische draaiperiode van de Maan). De vierkantjes tonen de huidige situatie. De driehoekjes tonen de punten waarop de baanperiode gelijk is aan de draaiperiode van de Aarde. Deze zijn voor \(r = 13938 \text{ km}\) (periode gelijk aan 4 uur en 50 minuten) en \(r = 554523 \text{ km}\) (periode gelijk aan 47 dagen 7 uur).

De draaiperiode \(T_1\) van de Aarde neemt toe, omdat de draaiing van de Aarde door de getijdekrachten afremt. Uit de figuur zien we dat dat alleen kan als de afstand \(r\) tussen de Aarde en de Maan toeneemt.

Fig. 2: Energie in Aarde-Maan-systeem

Figuur 2 toont welke totale energie \(E\) er in het Aarde-Maan-systeem zit als de Aarde en Maan op afstand \(r\) van elkaar staan, als de Maan altijd dezelfde kant aan de Aarde toont, en als bovendien de draaiperiode van de Aarde is zoals aangegeven in figuur 1 voor die afstand. De getrokken lijn hoort bij de schaalverdeling aan de linkerkant, de stippellijn bij de schaalverdeling aan de rechterkant, die 10 keer vertikaal uitgerekt is ten opzichte van de schaalverdeling aan de linkerkant. De vierkantjes tonen de huidige situatie. De driehoekjes tonen de punten waarop de baanperiode gelijk is aan de draaiperiode van de Aarde, net als in figuur 1.

Het is heel moeilijk om warmte-energie of andere interne soorten van energie om te zetten in kinetische energie of in plaatsenergie, dus kan de totale hoeveelheid \(E\) van snelheidsenergie en plaatsenergie in het Aarde-Maan-systeem in de praktijk alleen maar afnemen. We zagen hierboven dat afremmende draaiing van de Aarde hoort bij toenemende afstand tussen de Aarde en de Maan, en we zien hier dat daarbij ook hoort dat de totale energie afneemt, en dat klopt met elkaar. De plaatsenergie neemt toe (omdat de Maan verder weg komt van de Aarde), maar de totale snelheidsenergie die zit in de rotatie en baan van de Aarde en in de rotatie en baan van de Maan neemt meer af, dus neemt het totaal van plaatsenergie en snelheidsenergie toch af zoals te verwachten was.

2. Evolutie

Banen van manen en planeten worden meestal beïnvloed door de volgende zaken:

1. De vervorming van de planeet door de getijdekrachten van de maan heeft een beetje tijd nodig om op de getijdekrachten te reageren en loopt daarom altijd een beetje achter ten opzichte van de richting naar de maan. Dit geeft een (natuurkundig) koppel dat de baanperiode en draaiperiode van de planeet meer gelijk maakt.
2. Omdat impulsmoment behouden is gaat impulsmoment die uit de draaiing van de planeet verdwijnt zitten in de draaiing van de maan of in de beweging van de maan rond de planeet. Als de draaiperiode korter is dan de baanperiode (wat meestal het geval is), en als de maan in dezelfde richting om zijn as draait als hij om de planeet beweegt (wat meestal het geval is), dan wordt de draaiing van de planeet door de getijden van de maan afgeremd, en wordt de baan van de maan groter.
3. Omdat de getijdekrachten heel vlug verzwakken als de afstand toeneemt zijn ze het sterkst als de maan het dichtst bij de planeet is, en daarom hebben ze meer invloed op het apofocus van de maan dan op het perifocus van de maan, waardoor de excentriciteit van de baan van de maan toeneemt.
4. Als de verandering in de draaiperiode van de planeet langzaam genoeg is, dan beweegt de draaias van de planeet naar een toestand waarin het loodrecht staat op het vlak van zijn baan rond de Zon.
5. Zelfs als een maan dezelfde baanperiode en draaiperiode heeft zodat het altijd dezelfde kant aan de planeet toont kan het nog getijde-effecten ondergaan. Als de baan niet helemaal cirkelvormig is dan varieert de afstand tot de planeet, zodat de maan toch nog door de getijdekrachten gekneed wordt en energie verliest. Dit heeft de neiging om de baan van de maan meer cirkelvormig te maken.
6. Bovendien beweegt een maan door een niet-cirkelvormige baan met een variabele snelheid, wat leidt tot libraties (schijnbaar knikken en schudden, zoals gezien vanaf de planeet), wat ook leidt tot kneden en energieverlies. Dit geeft ook een meer cirkelvormige baan.

Deze beschrijving ging over planeten en manen maar is ook geldig voor de Zon en planeten.

Als de huidige snelheid waarmee de draaiperiode van de Aarde verandert (ongeveer 20 seconden per miljoen jaar) constant zou blijven tot de draaiperiode en de baanperiode gelijk waren, dan zou het ongeveer (46 dagen gedeeld door 20 seconden maal een miljoen jaar is) ongeveer 200 miljard jaar duren tot de dag en de maand gelijk waren, wat ongeveer 15 maal zo lang is als de huidige leeftijd van het Heelal.

Omdat de Maan langzaam van de Aarde weg gaat worden haar getijdekrachten op de Aarde (en daarom ook de afremming van de Aarde) steeds minder, en ik verwacht dat de afremming ook minder snel gaat als de draaiperiode en de baanperiode meer op elkaar lijken. Bovendien zijn de getijdekrachten nu veel efficiënter in het afremmen van de Aarde dan gewoonlijk is (zie hoofdstuk 4). Het zal daarom waarschijnlijk veel meer dan 200 miljard jaar nemen voor de dag en de maand gelijk zijn geworden.

3. Modelresultaten

Fig. 3: Evolutie van de afstand van de Maan

Fig. 4: Evolutie van de lengte van de siderische dag

Figuur 4 toont hoe de lengte \(t_1\) (gemeten in uren van vandaag) van de dag afhangt van de tijd \(t\). De getrokken lijn toont de siderische dag (sterrendag) voor model A, de streeplijn de siderische dag voor model B, en de stippellijnen de bijbehorende synodische dagen (zonnedag). De situatie van vandaag staat weer aangegeven met kleine vierkantjes.

Fig. 5: Evolutie van de lengte van de siderische maand

Figuur 5 toont hoe de lengte \(P\) van de maand afhangt van de tijd \(t\). De getrokken lijn toont de siderische maand volgens model A, de korte-streeplijn de siderische maand volgens model B, en de stippellijnen de bijbehorende synodische maanden (van volle maan tot volle maan), allen gemeten in eenheden van 1 zonnedag van vandaag (86400 seconden). De lange-streeplijnen tonen de lengte van de synodische maanden gemeten in eenheden van de synodische dagen van dat moment. De situatie van vandaag staat weer aangegeven met kleine vierkantjes. De lengte van de zonnedag neemt relatief sneller toe dan de lengte van de synodische maand, dus neemt het aantal zonnedagen in een synodische maand in de toekomst af, hoewel de lengte van de synodische maand gemeten in een vaste tijdseenheid in de toekomst juist toeneemt.

4. Het verleden

Van sommige maanstenen is uit geologisch onderzoek gebleken dat ze ongeveer 4 miljard jaar oud moeten zijn, en er zijn geen aanwijzingen gevonden dat de Maan in de laatste 3 miljard jaar een traumatische gebeurtenis heeft ondergaan (zoals een hele nauwe ontmoeting met de Aarde). Echter, volgens model A (figuur 3) lag de Maan ongeveer 1,4 miljard jaar geleden tegen de Aarde aan. Daar klopt iets niet, want volgens de geologie is de Maan de laatste 3 miljard jaar niet dicht bij de Aarde geweest.

De verklaring voor dit probleem is dat de getijden op het moment sneller dan gemiddeld de Aarde afremmen, omdat op het moment de draaiperiode van de Aarde goed past bij de belangrijkste klotsperiode van de oceanen. (Dit is een voorbeeld van resonantie.) Ver in het verleden en ver in de toekomst, wanneer de daglengte niet meer zo goed past bij de klotsperiode van de oceanen, dan zijn de getijden minder goed in het afremmen van de Aarde. In model B hebben de getijden ongeveer 0,3 keer zoveel invloed als in model A, en dan kan de Maan ook bij het ontstaan van de Aarde en de Maan (geschat op ongeveer 5 miljard jaar geleden) nog voldoende ver van de Aarde staan.

5. De nabije toekomst

De figuren tonen dat volgens model A tijdens de komende 6 miljard jaar de Maan naar ongeveer 470 duizend kilometer van de Aarde zal bewegen (ongeveer 90 duizend kilometer meer dan vandaag), de dag ongeveer eenparig in lengte zal toenemen tot pakweg 47 uur lang, en de maand zal groeien tot ongeveer 36 dagen siderisch en 40 dagen synodisch. De synodisch maand (tegenwoordig ongeveer 29,5 dagen lang) zal over ongeveer 110 miljoen jaar precies 30 huidige dagen lang zijn, en zal over ongeveer 240 miljoen jaar precies 29 zonnedagen van die tijd lang zijn.

Omdat de getijden op het moment tijdelijk ongewoon efficiënt zijn in het afremmen van de Aarde (zie hoofdstuk 4) zullen de veranderingen in de lengte van de dag en de maand in werkelijkheid nog wel een stuk langzamer gaan dan model A suggereert. Model B zou op de lange termijn wel eens beter kunnen zijn, en volgens model B komt de Maan in de komende 6 miljard jaar maar tot 425 duizend kilometer afstand, wordt de dag maar 32 uur lang, en de maand 32 dagen siderisch en 35 dagen synodisch. Volgens model B zal de synodische maand 30 huidige dagen lang zijn over ongever 386 miljoen jaar, en precies 29 toekomstige zonnedagen over ongeveer 840 miljoen jaar. Het is duidelijk dat de lengte van de dag nog lang niet gelijk zal zijn aan de lengte van de maand als de Zon over ongeveer 5 miljard jaar opzwelt tot een rode reus.

6. De hele verre toekomst

Fig. 6: Evolutie van de maand in de hele verre toekomst

De stippellijnen in figuur 6 horen bij de benaderingen

\begin{align} P_A \| ≈ 85 - 7.5 \ln(t) \\ P_B \| ≈ 94.4 - 7.5 \ln(t) \end{align}

als \(t\) gemeten is in miljoenen jaren na vandaag en \(P_A\) en \(P_B\) gemeten zijn in zonnedagen van de toekomst.

[579]

7. Hoogwater en Laagwater

Het is meestal tweemaal per dag hoogwater en tweemaal per dag laagwater omdat de zwaartekracht tussen de Aarde en de Maan het water trekt naar het punt op Aarde dat het dichtste bij de Maan is en ook naar het punt op Aarde dat het verste van de Maan is, dus er zijn twee gebieden met hoogwater: eentje aan de kant waar de Maan is en eentje aan de andere kant; en er is een laagwatergebied dat rond de Aarde gaat midden tussen de twee hoogwatergebieden. Het duurt ongeveer een dag voor de Maan weer op ongeveer dezelfde plek aan de hemel staat gezien vanaf jouw plaats, dus tijdens die dag komen er op die plaats twee hoogwaters en twee laagwaters langs.

De getijden zijn het gevolg van twee krachten. De eerste van die krachten is de zwaartekracht van de Maan, die het water naar de Maan toe trekt. Laten we het punt op Aarde dat het dichtst bij de Maan is punt N noemen, en het punt op Aarde dat het verste van de Maan af is punt F, en het middelpunt van de Aarde punt C. C ligt midden tussen N en F. N is het dichtste bij de Maan en F is het verste van de Maan, dus is de zwaartekracht van de Maan het sterkste in N en het zwakste in F.

De tweede van die krachten is de middelpuntvliedende kracht vanwege de beweging van de Aarde rond het gemeenschappelijke zwaartepunt (barycentrum) van de Aarde en de Maan. Mensen zeggen vaak dat de Maan rond de Aarde draait, maar eigenlijk draaien zowel de Aarde als de Maan rond hun gemeenschappelijke zwaartepunt. De baan van de Aarde rond dat zwaartepunt is veel kleiner dan de baan van de Maan rond dat zwaartepunt, omdat de Aarde zoveel meer massa heeft dan de Maan. Daarom denken de meeste mensen dat de Maan de Aarde helemaal niet laat bewegen, maar dat is wel zo.

Op een draaimolen duwt de middelpuntvliedende kracht je sterker weg van het midden als verder van het midden van de draaimolen bent, en dat werkt net zo voor de middelpuntvliedende kracht ten opzichte van het zwaartekracht van het Aarde-Maansysteem. Dat zwaartepunt (laten we het punt B noemen) ligt tussen het middelpunt van de Aarde en het middelpunt van de Maan, maar veel dichter bij het middelpunt van de Aarde dan bij het middelpunt van de Maan. Het ligt tussen punten N en C. Dus de punten liggen in de volgorde N, B, C, F. De middelpuntvliedende kracht is het grootste in F (dat het verste van zwaartepunt B ligt) en het kleinste in N (dat het dichtste bij B ligt), en wijst weg van B.

In het middelpunt van de Aarde (C), zijn de zwaartekracht van de Maan en de middelpuntvliedende kracht even sterk maar wijzen in tegengestelde richtingen, dus middelen ze uit en blijft de Aarde gemiddeld op dezelfde afstand van de Maan.

In punt N is de zwaartekracht van de Maan sterker dan in punt C, omdat punt N dichter bij de Maan is dan punt C is. De middelpuntvliedende kracht wijst altijd weg van B, dus in punt N wijst die naar de Maan, net als de zwaartekracht van de Maan, dus in punt N tellen de twee krachten bij elkaar op en wijzen naar de Maan, dus weg van het middelpunt van de Aarde, en dat geeft hoogwater in punt N.

In punt F is de zwaartekracht van de Maan zwakker dan in punt C, omdat punt F verder van de Maan is dan punt C is. De middelpuntvliedende kracht is sterker in punt F dan in punt C, omdat punt F verder van het zwaartepunt is dan punt C is. In punt C waren de middelpuntvliedende kracht en de zwaartekracht van de Maan even sterk, dus in punt F is de middelpuntvliedende kracht sterker dan de zwaartekracht van de Maan. De middelpuntvliedende kracht in F wijst weg van de Maan, en de zwaartekracht in F wijst naar de Maan en is daar zwakker dan de middelpuntvliedende kracht, dus kan de zwaartekracht niet de hele middelpuntvliedende kracht opheffen dus blijft er wat middelpuntvliedende kracht over die van de Maan af wijst, dus van het centrum van de Aarde af wijst, dus krijgen we hoogwater in punt F.

Er is dus een hoogwater aan de kant van de Aarde het dichtste bij de Maan, omdat daar zowel de zwaartekracht van de Maan en de middelpuntvliedende kracht van het zwaartepunt naar de Maan wijzen, en er is een hoogwater aan de kant van de Aarde het verste van de Maan, omdat daar de middelpuntvliedende kracht (die daar weg wijst van de Maan en van het centrum van de Aarde) wint van de zwaartekracht van de Maan (die daar naar de Maan en naar het centrum van de Aarde toe wijst).

[580]

8. Springtij en Doodtij

Als het Nieuwe Maan is dan zijn de Maan en de Zon aan dezelfde kant van de Aarde dus dan tellen de hoogwaters van de Maan en van de Zon bij elkaar op. en de laagwaters ook, dus zijn het hoogwater en het laagwater dan sterker dan gewoonlijk. Dat heet springtij.

Als het Volle Maan is dan zijn de Maan en de Zon aan tegengestelde kanten van de Aarde, dus dan tellen de hoogwaters door de Maan (waarvan er twee zijn: eentje aan de kant waar de Maan staat en eentje aan de andere kant ― zie vraag 579) en de hoogwaters van de Zon (waarvan er ook twee zijn: eentje aan de kant waar de Zon staat en eentje aan de andere kant) op tot een hoogwater dat hoger is dan gewoonlijk, en net zo tellen de laagwaters op tot een laagwater dat lager is dan gewoonlijk. Ook dan is het springtij.

Als de Maan in het Eerste Kwartier of Laatste Kwartier staat, dan maakt de Maan een hoek van 90° met de Zon, dus maken de hoogwaters van de Maan op Aarde een hoek van 90° met de hoogwaters van de Zon, dus vallen de hoogwaters van de Maan samen met de laagwaters van de Zon en de laagwaters van de Maan met de hoogwaters van de Zon, dus heffen de getijden van de Zon (die zwakker zijn dan die van de Maan) deels de getijden van de Maan op, en krijgen we getijden die zwakker zijn dan gemiddeld. Dat is doodtij.

[589]

9. Gemiddelde tijd tussen opeenvolgende hoogwaters/laagwaters

De gemiddelde tijd tussen opeenvolgende hoogwaters (ongeveer twee per dag) en laagwaters (twee per dag) is verbonden met de gemiddelde tijd tussen twee opeenvolgende maansopkomsten/doorgangen/ondergangen (een per dag). Zie vraag 588 voor die gemiddelde tijd. De getijden worden veroorzaakt door de Maan en de Zon, waarbij de Zon maar half zo belangrijk is als de Maan. De tijden van hoogwater en laagwater volgen dus voornamelijk de Maan, met wat variatie vanwege de Zon. Een eenvoudige regel voor de tijden van hoogwater en laagwater is dat die op een vaste tijdafstand voor of na de doorgang (het hoogste punt aan de hemel) van de Maan komen ― maar daar zit dan de invloed van de Zon nog niet bij, en die vaste tijdsafstand hangt af van de plek waar je de getijden bekijkt.

talen: [en] [nl]

//aa.quae.nl/nl/antwoorden/getijden.html;
Laatst vernieuwd: 2021-07-19